志第二十一 律历一
应天 乾元 仪天历
古者帝王之治天下，以律历为先。儒者之通天人，至律历而止。历以数始，数自律生，故律历既正，寒暑以节，岁功以成，民事以序，庶绩以凝，万事根本，由兹立焉。古人自入小学，知乐知数，已晓其原。后世老师宿儒犹或弗习律历，而律历之家未必知道，各师其师，岐而二之。虽有巧思，岂能究造化之统会，以识天人之蕴奥哉！是以审律造历，更易不常，卒无一定之说。治效之不古若，亦此之由，而世岂察及是乎！ 宋初承五代之季王朴制律历、作律准，以宣其声，太祖以雅乐声高，诏有司考正。和岘等以影表铜臬暨羊头秬黍累尺制律，而度量权衡因以取正。然累代尺度与望臬殊，黍有钜细，纵横容积，诸儒异议，卒无成说。至崇宁中，徽宗任蔡京，信方士“声为律、身为度”之说，始大盭乎古矣。
显德《钦天历》亦朴所制也，宋初用之。建隆二年，以推验稍疏，诏王处讷等别造新历。四年，历成，赐名《应天》，未几，气候渐差。太平兴国四年，行《乾元历》，未几，气候又差。继作者曰《仪天》，曰《崇天》，曰《明天》，曰《奉元》，曰《观天》，曰《纪元》，迨靖康丙午，百六十余年，而八改历。南渡之后，曰《统元》，曰《乾道》，曰《淳熙》，曰《会元》，曰《统天》，曰《开禧》，曰《会天》，曰《成天》，至德佑丙子，又百五十年，复八改历。使其初而立法吻合天道，则千岁日至可坐而致，奚必数数更法，以求幸合玄象哉！盖必有任其责者矣。
虽然，天步惟艰，古今通患，天运日行，左右既分，不能无忒。谓七十九年差一度，虽视古差密，亦仅得其概耳。又况黄、赤道度有斜正、阔狭之殊，日月运行有盈缩、朏朒、表里之异。测北极者，率以千里差三度有奇，晷景称是。古今测验，止于岳台，而岳台岂必天地之中？余杭则东南，相距二千余里，华夏幅员东西万里，发敛晷刻岂能尽谐？又造历者追求历元，逾越旷古，抑不知二帝授时齐政之法，毕殚于是否乎？是亦儒者所当讨论之大者，诿曰星翁历生之责可哉？至于仪象推测之具，虽亦数改，若熙宁沉括之议、宣和玑衡之制，其详密精致有出于淳风、令瓒之表者，盖亦未始乏人也。今其遗法具在方册，惟《奉元》、《会天》二法不存。旧史以《乾元》、《仪天》附《应天》，今亦以《乾道》、《淳熙》、《会元》附《统元》，《开禧》、《成天》附《统天》。大抵数异术同，因仍增损，以追合乾象，俱无以大相过，备载其法，俾来者有考焉。 昔黄帝作律吕，以调阴阳之声，以候天地之气。尧则钦若历象，以授人时，以成岁功，用能综三才之道，极万物之情，以成其政化者也。至司马迁、班固叙其指要，着之简策。自汉至隋，历代祖述，益加详悉。暨唐贞观迄周显德，五代隆替，逾三百年，博达之士颇亦详缉废坠，而律志皆阙。宋初混一寓内，能士毕举，国经王制，悉复古道。《汉志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡之目，后代因之，今亦用次序以志于篇。
曰备数。《周礼》，保氏教国子以六艺，其六曰九数，谓方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢朒、旁要，是为九章。其后又有《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》、《周髀》、《缀术》、《缉古》等法相因而起，历代传习，谓之小学。唐试右千牛卫冑曹参军陈从运着《得一算经》，其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数。复有徐仁美者，作《增成玄一法》，设九十三问，以立新术，大则测于天地，细则极于微妙，虽粗述其事，亦适用于时。古者命官属于太史，汉、魏之世，皆在史官。隋氏始置算学博士于国庠，唐增其员，宋因而不改。 曰和声。《周礼》，典同掌六律六同之和，凡为乐器，以十有二律为之数度。古之圣人推律以制器，因器以宣声，和声以成音，比音而为乐。然则律吕之用，其乐之本欤！以其相生损益，数极精微，非聪明博达，则罕能详究。故历代而下，其法或存或阙，前史言之备矣。周显德中，王朴始依周法，以秬黍校正尺度，长九寸，虚径三分，为黄钟之管，作律准以宣其声。宋乾德中，太祖以雅乐声高，诏有司重加考正。时判太常寺和岘上言曰：“古圣设法，先立尺寸，作为律吕，三分损益，上下相生，取合真音，谓之形器。但以尺寸长短非书可传，故累秬黍求为准的，后代试之，或不符会。西京铜望臬可校古法，即今司天台影表铜臬下石尺是也。及以朴所定尺比校，短于石尺四分，则声乐之高，盖由于此。况影表测于天地，则管律可以准绳。”上乃令依古法，以造新尺并黄钟九寸之管，命工人校其声，果下于朴所定管一律。又内出上党羊头山秬黍，累尺校律，亦相符合。遂下尚书省集官详定，众议佥同。由是重造十二律管，自此雅音和畅。
曰审度者，本起于黄钟之律以秬黍中者度之，九十黍为黄钟之长，而分、寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉颁度量于其境，其伪俗尺度逾于法制者去之。乾德中，又禁民间造者。由是尺度之制尽复古焉。 曰嘉量。《周礼》，□氏为量。《汉志》云，物有多少受以量，本起于黄钟之管容秬黍千二百，而龠、合、升、斗、斛五量之法备矣。太祖受禅，诏有司精考古式，作为嘉量，以颁天下。其后定西蜀，平岭南，复江表，泉、浙纳土，并、汾归命，凡四方斗、斛不中式者皆去之。嘉量之器，悉复升平之制焉。 曰权衡之用，所以平物一民、知轻重也。权有五，曰铢、两、斤、钧、石，前史言之详矣。建隆元年八月，诏有司按前代旧式作新权衡，以颁天下，禁私造者。及平荆湖，即颁量、衡于其境。淳化三年三月三日，诏曰：“《书》云：‘协时、月，正日，同律、度、量、衡。’所以建国经而立民极也。国家万邦咸乂，九赋是均，顾出纳于有司，系权衡之定式。如闻秬黍之制，或差毫厘，锤钧为奸，害及黎庶。宜令详定称法，着为通规。”事下有司，监内藏库、崇仪使刘承珪言：“太府寺旧铜式自一钱至十斤，凡五十一，轻重无准。外府岁受黄金，必自毫厘计之，式自钱始，则伤于重。”遂寻究本末，别制法物。至景德中，承珪重加参定，而权衡之制益为精备，其法盖取《汉志》子谷秬黍为则，广十黍以为寸，从其大乐之尺，秬黍，黑黍也。乐尺，自黄钟之管而生也。谓以秬黍中者为分寸、轻重之制。
就成二术，二术谓以尺、黍而求牦、絫。
因度尺而求牦，度者，丈、尺之总名焉。因乐尺之源，起于黍而成于寸，析寸为分，析分为牦，析牦为毫，析毫为丝，析丝为忽。十忽为丝，十丝为毫，十毫为牦，十牦为分。 自积黍而取絫。从积黍而取絫，则十黍为絫，十絫为铢，二十四铢为两。锤皆以铜为之。 以牦、絫造一钱半及一两等二称，各悬三毫，以星准之。等一钱半者，以取一称之法。其衡合乐尺一尺二寸，重一钱，锤重六分，盘重五分。初毫星准半钱，至稍总一钱半，析成十五分，分列十牦；第一毫下等半钱，当五十牦，若十五斤称等五斤也。
中毫至稍一钱，析成十分，分列十牦；末毫至稍半钱，析成五分，分列十牦。等一两者，亦为一称之则。其衡合乐分尺一尺四寸，重一钱半，锤重六钱，盘重四钱。初毫至稍，布二十四铢，下别出一星，等五絫；每铢之下，复出一星，等五絫，则四十八星等二百四十絫，计二千四百絫为十两。
中毫至稍五钱，布十二铢，列五星，星等二絫；布十二铢为五钱之数，则一铢等十絫，都等一百二十絫为半两。 末毫至稍六铢，铢列十星，星等絫。每星等一絫，都等六十絫为二钱半。
以御书真、草、行三体淳化钱，较定实重二铢四絫为一钱者，以二千四百得十有五斤为一称之则。其法，初以积黍为准，然后以分而推忽，为定数之端。故自忽、丝、毫、牦、黍、絫、铢各定一钱之则。谓皆定一钱之则，然后制取等称也。
忽万为分，以一万忽为一分之则，以十万忽定为一钱之则。忽者，吐丝为忽；分者，始微而着，言可分别也。
丝则千，一千丝为一分，以一万丝定为一钱之则。
毫则百，一百毫为一分，以一千毫定为一钱之则。毫者，毫毛也。自忽、丝、毫三者皆断骥尾为之。
牦则十，一十牦为一分，以一百牦定为一钱之则。牦者，牦牛尾毛也，曳赤金成丝为之也。 转以十倍倍之，则为一钱。转以十倍，谓自万忽至十万忽之类定为则也。 黍以二千四百枚为一两，一龠容千二百黍为十二铢，则以二千四百黍定为一两之则。两者，以二龠为两。
ＰＵ以二百四十，谓以二百四十絫定为一两之则。
铢以二十四，转相因成絫为铢，则以二百四十絫定成二十四铢为一两之则。铢者，言殊异。
遂成其称。称合黍数，则一钱半者，计三百六十黍之重。列为五分，则每分计二十四黍。又每分析为一十牦，则每牦计二黍十分黍之四。以十牦分二十四黍，则每牦先得二黍。都分成四十分，则一絫又得四分，是每牦得二黍十分黍之四。
每四毫一丝六忽有差为一黍，则牦、絫之数极矣。一两者，合二十四铢为二千四百黍之重。每百黍为铢，二百四十黍为絫，二铢四絫为钱，二絫四黍为分。一絫二黍重五牦，六黍重二牦五毫，三黍重一牦二毫五丝，则黍、絫之数成矣。其则，用铜而镂文，以识其轻重。新法既成，诏以新式留禁中，取太府旧称四十、旧式六十，以新式校之，乃见旧式所谓一斤而轻者有十，谓五斤而重者有一。式既若是，权衡可知矣。又比用大称如百斤者，皆悬钧于架，植环于衡，环或偃，手或抑按，则轻重之际，殊为悬绝。至是，更铸新式，悉由黍、絫而齐其斤、石，不可得而增损也。又令每用大称，必悬以丝绳。既置其物，则却立以视，不可得而抑按。复铸铜式，以御书淳化三体钱二千四百暨新式三十有三、铜牌二十授于太府。又置新式于内府、外府，复颁于四方大都，凡十有一副。先是，守藏吏受天下岁贡金帛，而太府权衡旧式失准，得因之为奸，故诸道主者坐逋负而破产者甚众。又守藏更代，校计争讼，动必数载。至是，新制既定，奸弊无所指，中外以为便。度、量、权、衡皆太府掌造，以给内外官司及民间之用。凡遇改元，即差变法，各以年号印而识之。其印面有方印、长印、八角印，明制度而防伪滥也。 宋初，用周显德《钦天历》，建隆二年五月，以其历推验稍疏，乃诏司天少监王处讷等别造历法。四年四月，新法成，赐号《应天历》。太平兴国间，有上言《应天历》气候渐差，诏处讷等重加详定。六年，表上新历，诏付本监集官详定。会冬官正吴昭素、徐莹、董昭吉等各献新历，处讷所上历遂不行。诏以昭素、莹、昭吉所献新历，遣内臣沉元应集本监官属、学生参校测验，考其疏密。秋官正史端等言：“昭吉历差。昭素、莹二历以建隆癸亥以来二十四年气朔验之，颇为切准。复对验二历，唯昭素历气朔稍均，可以行用。”又诏卫尉少卿元象宗与元应等，再集明历术吴昭素、刘内真、苗守信、徐莹、王熙元、董昭吉、魏序及在监官属史端等精加详定。像宗等言：“昭素历法考验无差，可以施之永久。”遂赐号为《乾元历》。《应天》、《乾元》二历皆御制序焉。
真宗嗣位，命判司天监史序等考验前法，研核旧文，取其枢要，编为新历。至咸平四年三月，历成来上，赐号《仪天历》。凡天道运行，皆有常度，历象之术，古今所同。盖变法以从天，随时而推数，故法有疏密，数有繁简，虽条例稍殊，而纲目一也。今以三历参相考校，以《应天》为本，《乾元》、《仪天》附而注之，法同者不复重出，法殊者备列于后。
建隆《应天历》
演纪上元木星甲子，距建隆三年壬戌，岁积四百八十二万五千五百五十八。《乾元》上元甲子距太平兴国六年辛巳，积三千五十四万三千九百七十七。《仪天》自上元土星甲子至咸平四年辛丑，积七十一万六千四百九十七。
步气朔
元法：一万二。《乾元》元率九百四十。《仪天》宗法一万一百。又总谓之日法。 岁盈：二十六万九千三百六十五。《乾元》岁周二十一万四千七百六十四。《仪天》岁周三十六万八千八百九十七。《仪天》有周天三百六十五、余二千四百七十，约余二千四百四十五；岁余五万二千九百七十、余二千四百七十。《应天》、《乾元》无此法，后皆仿此。
月率：五万九千七十三。《乾元》不置此法。《仪天》合率二十九万八千二百五十九。又《仪天》有岁闰一万九千八百六十二，月闰九千一百一十五、秒六。
会日：二十九、小余五千三百七。《乾元》朔策二十九、小余一千五百六十。《仪天》会日二十九、小余五千三百五十七。
弦策：七、小余三千八百二十七、秒六。《乾元》小余一千一百二十五。《仪天》小余三千八百六十四、秒二十七。策并同。
望策：十四、小余七千六百五十四、妙一十二。《乾元》小余二千二百五十七。《仪天》小余七千七百二十七、秒一十八。策并同。
气策：十五、小余二千一百八十五、秒二十四。《乾元》小余六百四十二半。《仪天》小余二千二百七、秒三。策并同。又《仪天》有气盈四千四百一十四、秒六。
朔虚分：四千六百九十五。《乾元》一千三百八十。《仪天》四千七百四十一。
没限：七千八百一十六、秒九。《乾元》二千二百九十七半。《仪天》七千八百九十二。又《仪天》有纪实六十万六千。 秒法：二十四。《乾元》一百。《仪天》秒母三十六。
纪法：六十。二历同。
推元积：《乾元》、《仪天》皆谓之求岁积分。
置所求年，以岁盈展之为元积。
求天正所盈之日及分并冬至大小余：以八十四万一百六十八去元积，不尽者，半而进位，以元法收为所盈日，不满为小余。日满六十去之，不满者，命从甲子，算外，即冬至日辰、大小余也。《乾元》以岁周乘积年为岁积分，以七万五百六十去之，不尽，以五因，满元率收为日，不满为余日。《仪天》以岁周乘积年，进一位，为岁积分；盈宗法而一为积日，不满为余日。去命并同《应天》。 求次气：以天正冬至大、小余遍加诸常数，盈六十去之，不盈者，命如前，即得诸气日辰、大小余秒也。《乾元》置中气大、小余，以气策加之，命如前，即次气日辰也。《仪天》置冬至大、小余，加气策及余秒，秒盈秒母从小余，盈纪法去之，皆命如前法，各得次气常日辰及余秒。
求天正十一月朔中日：《乾元》谓之经朔。《仪天》谓之天正合朔。
以月率去元积，不尽者，为天正十一月通余；以通余减七十三万六百三十五，余，半而进位，以元法收为日，不满为分，即得所求天正十一月朔中日及余秒。《乾元》以一万七千三百六十四去岁积分，不尽为朔余；以岁积分为朔积分，又倍五万二千九百二十，除之，余以五因，满元率为日，不满为分。《仪天》以合率去岁积分，不尽为闰余；满宗法为闰日，不满为余，以闰日及余减天正冬至大、小余，为天正合朔大、小余；去命如前，即得合朔日辰、大小余。
求次朔望中日：《乾元》谓之求弦望经朔。《仪天》谓之求次朔。
置朔中日，累加弦策余秒，即得弦、望及次朔中日。《乾元》以弦策加经朔大、小余，即得次朔经日；以弦策及余秒加经朔，得上弦；再加，得望；三之，得下弦。 求望中月：置朔中月，加半交，盈交正去之，余为望中月。二历不立此法。
求朔弦望入气：置朔、望中日，各以盈缩准去，不尽者，为入气日及分。二历不立此法。 推没日：置有没之气小余，其小余七千八百一十六、秒九以上者求之也。
近减元法，余以八因之，一千九十二、秒一十九半除为没日，命起气初，即得没日辰。其秒不足者，退一分，加二十四秒，然后除之，四分之三以上者进。《乾元》置有没之气小余，在二千二百九十七半以上者，以十五乘之，用减四万四千七百四十二半，余以六百四十二半除为没日。《仪天》以秒母通常气小余及秒，而从之以减岁周，余满五千二百九十七为没日，去命如前。
推灭日：以冬至大、小余，遍加朔日中为上位，有分为下位，在四千六百九十五以下者，为有灭之分也。置有灭之分，进位，以一千五百六十五除为灭日，以灭日加上位，命从甲子，算外，即得月内灭日。《乾元》置有灭之经朔小余，在一千一百八十以下者，以八因之，满三百六十八除为灭日。《仪天》经朔小余在朔虚法以下者，三因，进位，以朔虚分除为灭日。
求发敛
候策：五、小余七百二十八、秒二，母二十四。《乾元》候数五、小余一百一十四、秒十二，秒母七十二。《仪天》候率五、小余七百三十五、秒二十五，秒母三十六。
卦策：六、小余八百七十四、秒六。《乾元》卦位六、小余二百五十七，秒母六十。《仪天》卦率六、小余八百八十三、秒二十。
土王策：十二、小余一千七百四十八、秒一十二。《乾元》策三、小余一百二十八半，秒母一百一十。《仪天》土王率三、小余四百四十、秒五，秒母同上。 辰数：八百三十三半。《乾元》辰法二百四十五，辰率千五百二十。
刻法：一百。《乾元》一百四十七。《仪天》刻三百。
求七十二候：各因诸气大、小余秒命之，即初候日也；各以候策加之，得次候日；又加之，得末候日。二历同法。
求六十四卦：各置诸中气大、小余秒命之，即公卦用事日；以卦策加之，得次卦用事日；又加之，得终卦用事日。十有二节之初，皆诸侯外卦用事日。二历同法。
求五行用事：各因四立大、小余秒命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策加四季之节大、小余秒，命从甲子，算外。即其月土王用事日。《乾元》以土王策减四季中气大、小余。《仪天》以土王率加四季大、小余。 求二十四气加时辰刻：《乾元》谓之辰刻。《仪天》谓之求时。
各置小余，以辰数除之为时数，不满，百收为刻分，命起子正，算外，即所在。《乾元》时数同，其不尽，以五因之，以刻法除为刻分。《仪天》以三因小余，以辰率除之为时数，不尽者，满刻率除为刻，余为分。
天总：七十三万六百五十八、秒六十四。《乾元》轨率二十一万四千七十七、秒七千五百一十、小分七十。《仪天》乾元数三百六十八万九千八十八、秒九十九。 天度：三百六十五、小余二千五百六十三、微八十八。《乾元》周天三百六十五度、小余二千五百六十三。《仪天》乾则三百六十五度、小余二千五百八十八、秒九十九。《仪天》诸法皆在天总数中。《乾元》、《仪天》各立其法。《乾元》周天策一百七万三千八百五十三、秒七千五百五十三半，会周一万七千三百六十四，会余二十一万四千七百六十四，天中一百八十二、六千二百八十一半。《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限日八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒十五，限日九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒母一百。
《乾元》二十四气日躔阴阳度
《应天》、《乾元》二历，以常气求其阴阳差，故有二十四气立成。《仪天》以盈缩定分、四限直求二十四气阴阳差，乃更不制二十四气差法。
求日躔损益盈缩度：《乾元》谓之求每日阴阳差。《仪天》谓之求入盈缩分先后定数。 各置定日及分，以冬至常数相减，百收，通为分，自雨水后十六为法，自霜降后十五为法。除分为气中率，二相减，为合差；半之，加减率为初、末率。后多者，减为初、加为末；后少者，加为初、减为末。
又法，以除合差，为日差。后少者，日损初率；后多者，日益初率。 为每日日躔损益率；累积其数，为盈缩度分。《乾元》各置气数，以一百二十乘之，以一千八百二十六除之，所得为平行率；相减，为合差；初、末并如《应天》。《仪天》以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率；日分乘之，亦以限分除之，为日差；半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率；乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分；各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积准此求之，即各得其限每日进退率、升平积也。
求日躔先后定数：《乾元》谓之求入气、求弦望气入、求日躔阴阳差。
各以朔、弦、望入气日及减本气定日及分秒通之，下以损益率展，以元法为分，损减益加次气下先后积为定数。《乾元》以其月气节减经朔大、小余，即得入气日及分；又以弦策累加天正朔日入气大、小余，满气策去之，即得弦、望经朔入气日及分；以其日损益率乘入气日余分，所得，用损益其日阴阳差为定数。《仪天》法见上。又《仪天》有求四正节定日，去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定；其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日。若求朔、弦、望盈缩限日，以天正闰日及余减缩末限日及分，余为天正十一月经朔加时入限日及余；以弦策累加之，即得弦、望及后朔初、末限日；各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数。
赤道宿度
斗：二十六
牛：八
女：十二
虚：十及分 危：十七 室：十六
壁：九二历同 北方七宿九十八度。虚分二千五百六十三、秒一十九。《乾元》七千五百三十五、秒二十五。《仪天》二千五百八十八、秒九十九。
奎：十六
娄：十二
胃：十四
昴：十一
毕：十七
觜：一
参：十
西方七宿八十一度。二历同
井：三十三
鬼：三 柳：十五
星：七
张：十八
翼：十八
轸：十七
南方七宿一百一十一度。二历同 角：十二
亢：九
氐：十五
房：五
心：五
尾：十八 箕：十一
东方七宿七十五度。二历同
又《仪天》云：“前皆赤道度，自古以来，累依天仪测定，用为常准。赤道者，天中纮带，仪极攸凭，以格黄道也。”
求赤道变黄道度：《乾元》谓之求黄道度。《仪天》谓之推黄道度。
准二至赤道日躔宿次。前后五度为限，初限十二，每限减半，终九限减尽。距二立之宿，减一度少强，又从尽起限，每限增半，九限终于十二。距二分之宿，皆乘限度，身外除一，余满百为度分，命曰黄赤道差。二至前后各九限，以差为减；二分前后各九限，以差为加。各加减赤道度为黄道度，有余分就近收为太、半、少之数。《乾元》初率九，每限减一，末率一。《仪天》初数一百七，每限减一十，末率二十七，其余限数加减并同《应天》。
黄道宿度
斗：二十三度半 牛：七度半二历同
女：十一度太二历并十一度半
虚：十度少强二千五百六十三、秒十九。《乾元》无分。《仪天》六十三分、九十九秒。危：十七度少《乾元》同。《仪天》十七度太 室：十六度太。 壁：十度《乾元》九度太。《仪天》同。
北方七宿九十七度二千五百六十三、秒十九。《乾元》九十六度半、《仪天》九十七度半、六十三、秒九十九。
奎：十七度半二历同
娄：一十二度太《乾元》十三度。《仪天》同。
胃：十四度少。二历并十四度太
昴：十一度二历同
毕：十六度半《乾元》同。《仪天》十六度少。
觜：一度 参：九度少二历并同
西方七宿八十二度少。《乾元》八十三度。《仪天》八十二度半。 井：三十度 鬼：二度太二历并同
柳：十四度半《乾元》、《仪天》十四度少。
星：七度。《乾元》、《仪天》并六度太。
张：十八度少《乾元》同。《仪天》十八度太。
翼：十九度少《乾元》十九度。《仪天》同。
轸：十八度太二历同
南方七宿一百一十度半。《乾元》一百九度太。《仪天》同。
角：十三度 亢：九度半二历并同
氐：十二度少《乾元》、《仪天》并十五度半。
房：五度二历同
心：五度《乾元》同。《仪天》四度太。 尾：十七度少。《乾元》同。《仪天》十七度。 箕：十度《乾元》十度太。《仪天》十度。
东方七宿七十五度少。《乾元》七十六度。《仪天》七十四度太。
求赤道日度：《仪天》谓之推日度。 以天总除元积，为总数；不尽，半而进位，又以一百收总数从之，以元法收为度，不满为分秒，命起赤道虚宿四度分。《乾元》以轨率去岁积分，余以五因之，满轨率收为度，不满，退除为分，余同。《仪天》以乾数去岁积分，宗法收为度，命起虚宿二度，余同《应天》。又以一象度及余秒累加之，满赤道宿度即去之，各得四正，即初日加时赤道日度也。
求黄道日度：置冬至赤道日躔宿度，以所入限数乘之，所得，身外除一，满百为度，不满为分，用减赤道日度，为冬至加时黄道日度及分。《乾元》、《仪天》亦如其法。《乾元》即以八十四，《仪天》以一百一除为度，余同《应天》。 求朔望常日月：《乾元》谓之求黄道平朔日度。
置朔、望日躔先后定数，进一位，倍之，身外除之，以元法收为度分，先加后减朔望中日、月，为朔望中常日、月度分；用加冬至黄道之宿，命如前，即得朔望常日、月所在。《乾元》置会周一万七千三百六十，以距十一月后来月数乘之，所得，减去朔余，加会余而半之，以二百九十四收为度，不尽，退除为分。《仪天》法在后。《乾元》又有求黄道加时朔日度，置平朔日，以日躔阳加阴减之，又以冬至黄道日度加而命之，即其朔加时黄道日度及分也。若求望日度者，以半朔策加之，即得望日度及分也。用阳度，即依本术。 每日加时黄道日度：《乾元》谓之每日行分。
以定朔、望日所在相减，余以距后日数除之，为平行分；二行分相减，为合差；半之，加减平行分，为初行分；后平行多，减为初；后平行少，加为初。
以距后日数除合差，为日差；后少者损，后多者益，为每日行分；累加朔、望日，即得所求。《乾元》同。《仪天》不立此法。又《仪天》有求次正定日加时黄道日度，置岁差，以限数乘之，退一位，满一百一为差秒及小分，再析之，乃以加一象度，所得，累加冬至黄道日，满黄道宿次去之，各得四正，即加时黄道日度也。若求四正定日夜半黄道日度，置其定日小余副之，以其日盈、缩分乘之，满宗法而一，盈加缩减其副，乃以减其日加时，即为夜半黄道日度。又有求每日夜半日度，因四正初日夜半度，累加一策，以其日盈缩分盈加缩减，满黄道宿次去之，即得每日夜半日度。又有求定朔、弦、望加时日度，置定朔、望小余副之，以其日盈缩分乘之，以宗法收之为分，盈加缩减其副，以加其日夜半度，各得其时加日躔所次。如朔、望有进退者，此术不用。
古者帝王之治天下，以律历为先。儒者之通天人，至律历而止。历以数始，数自律生，故律历既正，寒暑以节，岁功以成，民事以序，庶绩以凝，万事根本，由兹立焉。古人自入小学，知乐知数，已晓其原。后世老师宿儒犹或弗习律历，而律历之家未必知道，各师其师，岐而二之。虽有巧思，岂能究造化之统会，以识天人之蕴奥哉！是以审律造历，更易不常，卒无一定之说。治效之不古若，亦此之由，而世岂察及是乎！ 宋初承五代之季王朴制律历、作律准，以宣其声，太祖以雅乐声高，诏有司考正。和岘等以影表铜臬暨羊头秬黍累尺制律，而度量权衡因以取正。然累代尺度与望臬殊，黍有钜细，纵横容积，诸儒异议，卒无成说。至崇宁中，徽宗任蔡京，信方士“声为律、身为度”之说，始大盭乎古矣。
显德《钦天历》亦朴所制也，宋初用之。建隆二年，以推验稍疏，诏王处讷等别造新历。四年，历成，赐名《应天》，未几，气候渐差。太平兴国四年，行《乾元历》，未几，气候又差。继作者曰《仪天》，曰《崇天》，曰《明天》，曰《奉元》，曰《观天》，曰《纪元》，迨靖康丙午，百六十余年，而八改历。南渡之后，曰《统元》，曰《乾道》，曰《淳熙》，曰《会元》，曰《统天》，曰《开禧》，曰《会天》，曰《成天》，至德佑丙子，又百五十年，复八改历。使其初而立法吻合天道，则千岁日至可坐而致，奚必数数更法，以求幸合玄象哉！盖必有任其责者矣。
虽然，天步惟艰，古今通患，天运日行，左右既分，不能无忒。谓七十九年差一度，虽视古差密，亦仅得其概耳。又况黄、赤道度有斜正、阔狭之殊，日月运行有盈缩、朏朒、表里之异。测北极者，率以千里差三度有奇，晷景称是。古今测验，止于岳台，而岳台岂必天地之中？余杭则东南，相距二千余里，华夏幅员东西万里，发敛晷刻岂能尽谐？又造历者追求历元，逾越旷古，抑不知二帝授时齐政之法，毕殚于是否乎？是亦儒者所当讨论之大者，诿曰星翁历生之责可哉？至于仪象推测之具，虽亦数改，若熙宁沉括之议、宣和玑衡之制，其详密精致有出于淳风、令瓒之表者，盖亦未始乏人也。今其遗法具在方册，惟《奉元》、《会天》二法不存。旧史以《乾元》、《仪天》附《应天》，今亦以《乾道》、《淳熙》、《会元》附《统元》，《开禧》、《成天》附《统天》。大抵数异术同，因仍增损，以追合乾象，俱无以大相过，备载其法，俾来者有考焉。 昔黄帝作律吕，以调阴阳之声，以候天地之气。尧则钦若历象，以授人时，以成岁功，用能综三才之道，极万物之情，以成其政化者也。至司马迁、班固叙其指要，着之简策。自汉至隋，历代祖述，益加详悉。暨唐贞观迄周显德，五代隆替，逾三百年，博达之士颇亦详缉废坠，而律志皆阙。宋初混一寓内，能士毕举，国经王制，悉复古道。《汉志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡之目，后代因之，今亦用次序以志于篇。
曰备数。《周礼》，保氏教国子以六艺，其六曰九数，谓方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢朒、旁要，是为九章。其后又有《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》、《周髀》、《缀术》、《缉古》等法相因而起，历代传习，谓之小学。唐试右千牛卫冑曹参军陈从运着《得一算经》，其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数。复有徐仁美者，作《增成玄一法》，设九十三问，以立新术，大则测于天地，细则极于微妙，虽粗述其事，亦适用于时。古者命官属于太史，汉、魏之世，皆在史官。隋氏始置算学博士于国庠，唐增其员，宋因而不改。 曰和声。《周礼》，典同掌六律六同之和，凡为乐器，以十有二律为之数度。古之圣人推律以制器，因器以宣声，和声以成音，比音而为乐。然则律吕之用，其乐之本欤！以其相生损益，数极精微，非聪明博达，则罕能详究。故历代而下，其法或存或阙，前史言之备矣。周显德中，王朴始依周法，以秬黍校正尺度，长九寸，虚径三分，为黄钟之管，作律准以宣其声。宋乾德中，太祖以雅乐声高，诏有司重加考正。时判太常寺和岘上言曰：“古圣设法，先立尺寸，作为律吕，三分损益，上下相生，取合真音，谓之形器。但以尺寸长短非书可传，故累秬黍求为准的，后代试之，或不符会。西京铜望臬可校古法，即今司天台影表铜臬下石尺是也。及以朴所定尺比校，短于石尺四分，则声乐之高，盖由于此。况影表测于天地，则管律可以准绳。”上乃令依古法，以造新尺并黄钟九寸之管，命工人校其声，果下于朴所定管一律。又内出上党羊头山秬黍，累尺校律，亦相符合。遂下尚书省集官详定，众议佥同。由是重造十二律管，自此雅音和畅。
曰审度者，本起于黄钟之律以秬黍中者度之，九十黍为黄钟之长，而分、寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉颁度量于其境，其伪俗尺度逾于法制者去之。乾德中，又禁民间造者。由是尺度之制尽复古焉。 曰嘉量。《周礼》，□氏为量。《汉志》云，物有多少受以量，本起于黄钟之管容秬黍千二百，而龠、合、升、斗、斛五量之法备矣。太祖受禅，诏有司精考古式，作为嘉量，以颁天下。其后定西蜀，平岭南，复江表，泉、浙纳土，并、汾归命，凡四方斗、斛不中式者皆去之。嘉量之器，悉复升平之制焉。 曰权衡之用，所以平物一民、知轻重也。权有五，曰铢、两、斤、钧、石，前史言之详矣。建隆元年八月，诏有司按前代旧式作新权衡，以颁天下，禁私造者。及平荆湖，即颁量、衡于其境。淳化三年三月三日，诏曰：“《书》云：‘协时、月，正日，同律、度、量、衡。’所以建国经而立民极也。国家万邦咸乂，九赋是均，顾出纳于有司，系权衡之定式。如闻秬黍之制，或差毫厘，锤钧为奸，害及黎庶。宜令详定称法，着为通规。”事下有司，监内藏库、崇仪使刘承珪言：“太府寺旧铜式自一钱至十斤，凡五十一，轻重无准。外府岁受黄金，必自毫厘计之，式自钱始，则伤于重。”遂寻究本末，别制法物。至景德中，承珪重加参定，而权衡之制益为精备，其法盖取《汉志》子谷秬黍为则，广十黍以为寸，从其大乐之尺，秬黍，黑黍也。乐尺，自黄钟之管而生也。谓以秬黍中者为分寸、轻重之制。
就成二术，二术谓以尺、黍而求牦、絫。
因度尺而求牦，度者，丈、尺之总名焉。因乐尺之源，起于黍而成于寸，析寸为分，析分为牦，析牦为毫，析毫为丝，析丝为忽。十忽为丝，十丝为毫，十毫为牦，十牦为分。 自积黍而取絫。从积黍而取絫，则十黍为絫，十絫为铢，二十四铢为两。锤皆以铜为之。 以牦、絫造一钱半及一两等二称，各悬三毫，以星准之。等一钱半者，以取一称之法。其衡合乐尺一尺二寸，重一钱，锤重六分，盘重五分。初毫星准半钱，至稍总一钱半，析成十五分，分列十牦；第一毫下等半钱，当五十牦，若十五斤称等五斤也。
中毫至稍一钱，析成十分，分列十牦；末毫至稍半钱，析成五分，分列十牦。等一两者，亦为一称之则。其衡合乐分尺一尺四寸，重一钱半，锤重六钱，盘重四钱。初毫至稍，布二十四铢，下别出一星，等五絫；每铢之下，复出一星，等五絫，则四十八星等二百四十絫，计二千四百絫为十两。
中毫至稍五钱，布十二铢，列五星，星等二絫；布十二铢为五钱之数，则一铢等十絫，都等一百二十絫为半两。 末毫至稍六铢，铢列十星，星等絫。每星等一絫，都等六十絫为二钱半。
以御书真、草、行三体淳化钱，较定实重二铢四絫为一钱者，以二千四百得十有五斤为一称之则。其法，初以积黍为准，然后以分而推忽，为定数之端。故自忽、丝、毫、牦、黍、絫、铢各定一钱之则。谓皆定一钱之则，然后制取等称也。
忽万为分，以一万忽为一分之则，以十万忽定为一钱之则。忽者，吐丝为忽；分者，始微而着，言可分别也。
丝则千，一千丝为一分，以一万丝定为一钱之则。
毫则百，一百毫为一分，以一千毫定为一钱之则。毫者，毫毛也。自忽、丝、毫三者皆断骥尾为之。
牦则十，一十牦为一分，以一百牦定为一钱之则。牦者，牦牛尾毛也，曳赤金成丝为之也。 转以十倍倍之，则为一钱。转以十倍，谓自万忽至十万忽之类定为则也。 黍以二千四百枚为一两，一龠容千二百黍为十二铢，则以二千四百黍定为一两之则。两者，以二龠为两。
ＰＵ以二百四十，谓以二百四十絫定为一两之则。
铢以二十四，转相因成絫为铢，则以二百四十絫定成二十四铢为一两之则。铢者，言殊异。
遂成其称。称合黍数，则一钱半者，计三百六十黍之重。列为五分，则每分计二十四黍。又每分析为一十牦，则每牦计二黍十分黍之四。以十牦分二十四黍，则每牦先得二黍。都分成四十分，则一絫又得四分，是每牦得二黍十分黍之四。
每四毫一丝六忽有差为一黍，则牦、絫之数极矣。一两者，合二十四铢为二千四百黍之重。每百黍为铢，二百四十黍为絫，二铢四絫为钱，二絫四黍为分。一絫二黍重五牦，六黍重二牦五毫，三黍重一牦二毫五丝，则黍、絫之数成矣。其则，用铜而镂文，以识其轻重。新法既成，诏以新式留禁中，取太府旧称四十、旧式六十，以新式校之，乃见旧式所谓一斤而轻者有十，谓五斤而重者有一。式既若是，权衡可知矣。又比用大称如百斤者，皆悬钧于架，植环于衡，环或偃，手或抑按，则轻重之际，殊为悬绝。至是，更铸新式，悉由黍、絫而齐其斤、石，不可得而增损也。又令每用大称，必悬以丝绳。既置其物，则却立以视，不可得而抑按。复铸铜式，以御书淳化三体钱二千四百暨新式三十有三、铜牌二十授于太府。又置新式于内府、外府，复颁于四方大都，凡十有一副。先是，守藏吏受天下岁贡金帛，而太府权衡旧式失准，得因之为奸，故诸道主者坐逋负而破产者甚众。又守藏更代，校计争讼，动必数载。至是，新制既定，奸弊无所指，中外以为便。度、量、权、衡皆太府掌造，以给内外官司及民间之用。凡遇改元，即差变法，各以年号印而识之。其印面有方印、长印、八角印，明制度而防伪滥也。 宋初，用周显德《钦天历》，建隆二年五月，以其历推验稍疏，乃诏司天少监王处讷等别造历法。四年四月，新法成，赐号《应天历》。太平兴国间，有上言《应天历》气候渐差，诏处讷等重加详定。六年，表上新历，诏付本监集官详定。会冬官正吴昭素、徐莹、董昭吉等各献新历，处讷所上历遂不行。诏以昭素、莹、昭吉所献新历，遣内臣沉元应集本监官属、学生参校测验，考其疏密。秋官正史端等言：“昭吉历差。昭素、莹二历以建隆癸亥以来二十四年气朔验之，颇为切准。复对验二历，唯昭素历气朔稍均，可以行用。”又诏卫尉少卿元象宗与元应等，再集明历术吴昭素、刘内真、苗守信、徐莹、王熙元、董昭吉、魏序及在监官属史端等精加详定。像宗等言：“昭素历法考验无差，可以施之永久。”遂赐号为《乾元历》。《应天》、《乾元》二历皆御制序焉。
真宗嗣位，命判司天监史序等考验前法，研核旧文，取其枢要，编为新历。至咸平四年三月，历成来上，赐号《仪天历》。凡天道运行，皆有常度，历象之术，古今所同。盖变法以从天，随时而推数，故法有疏密，数有繁简，虽条例稍殊，而纲目一也。今以三历参相考校，以《应天》为本，《乾元》、《仪天》附而注之，法同者不复重出，法殊者备列于后。
建隆《应天历》
演纪上元木星甲子，距建隆三年壬戌，岁积四百八十二万五千五百五十八。《乾元》上元甲子距太平兴国六年辛巳，积三千五十四万三千九百七十七。《仪天》自上元土星甲子至咸平四年辛丑，积七十一万六千四百九十七。
步气朔
元法：一万二。《乾元》元率九百四十。《仪天》宗法一万一百。又总谓之日法。 岁盈：二十六万九千三百六十五。《乾元》岁周二十一万四千七百六十四。《仪天》岁周三十六万八千八百九十七。《仪天》有周天三百六十五、余二千四百七十，约余二千四百四十五；岁余五万二千九百七十、余二千四百七十。《应天》、《乾元》无此法，后皆仿此。
月率：五万九千七十三。《乾元》不置此法。《仪天》合率二十九万八千二百五十九。又《仪天》有岁闰一万九千八百六十二，月闰九千一百一十五、秒六。
会日：二十九、小余五千三百七。《乾元》朔策二十九、小余一千五百六十。《仪天》会日二十九、小余五千三百五十七。
弦策：七、小余三千八百二十七、秒六。《乾元》小余一千一百二十五。《仪天》小余三千八百六十四、秒二十七。策并同。
望策：十四、小余七千六百五十四、妙一十二。《乾元》小余二千二百五十七。《仪天》小余七千七百二十七、秒一十八。策并同。
气策：十五、小余二千一百八十五、秒二十四。《乾元》小余六百四十二半。《仪天》小余二千二百七、秒三。策并同。又《仪天》有气盈四千四百一十四、秒六。
朔虚分：四千六百九十五。《乾元》一千三百八十。《仪天》四千七百四十一。
没限：七千八百一十六、秒九。《乾元》二千二百九十七半。《仪天》七千八百九十二。又《仪天》有纪实六十万六千。 秒法：二十四。《乾元》一百。《仪天》秒母三十六。
纪法：六十。二历同。
推元积：《乾元》、《仪天》皆谓之求岁积分。
置所求年，以岁盈展之为元积。
求天正所盈之日及分并冬至大小余：以八十四万一百六十八去元积，不尽者，半而进位，以元法收为所盈日，不满为小余。日满六十去之，不满者，命从甲子，算外，即冬至日辰、大小余也。《乾元》以岁周乘积年为岁积分，以七万五百六十去之，不尽，以五因，满元率收为日，不满为余日。《仪天》以岁周乘积年，进一位，为岁积分；盈宗法而一为积日，不满为余日。去命并同《应天》。 求次气：以天正冬至大、小余遍加诸常数，盈六十去之，不盈者，命如前，即得诸气日辰、大小余秒也。《乾元》置中气大、小余，以气策加之，命如前，即次气日辰也。《仪天》置冬至大、小余，加气策及余秒，秒盈秒母从小余，盈纪法去之，皆命如前法，各得次气常日辰及余秒。
求天正十一月朔中日：《乾元》谓之经朔。《仪天》谓之天正合朔。
以月率去元积，不尽者，为天正十一月通余；以通余减七十三万六百三十五，余，半而进位，以元法收为日，不满为分，即得所求天正十一月朔中日及余秒。《乾元》以一万七千三百六十四去岁积分，不尽为朔余；以岁积分为朔积分，又倍五万二千九百二十，除之，余以五因，满元率为日，不满为分。《仪天》以合率去岁积分，不尽为闰余；满宗法为闰日，不满为余，以闰日及余减天正冬至大、小余，为天正合朔大、小余；去命如前，即得合朔日辰、大小余。
求次朔望中日：《乾元》谓之求弦望经朔。《仪天》谓之求次朔。
置朔中日，累加弦策余秒，即得弦、望及次朔中日。《乾元》以弦策加经朔大、小余，即得次朔经日；以弦策及余秒加经朔，得上弦；再加，得望；三之，得下弦。 求望中月：置朔中月，加半交，盈交正去之，余为望中月。二历不立此法。
求朔弦望入气：置朔、望中日，各以盈缩准去，不尽者，为入气日及分。二历不立此法。 推没日：置有没之气小余，其小余七千八百一十六、秒九以上者求之也。
近减元法，余以八因之，一千九十二、秒一十九半除为没日，命起气初，即得没日辰。其秒不足者，退一分，加二十四秒，然后除之，四分之三以上者进。《乾元》置有没之气小余，在二千二百九十七半以上者，以十五乘之，用减四万四千七百四十二半，余以六百四十二半除为没日。《仪天》以秒母通常气小余及秒，而从之以减岁周，余满五千二百九十七为没日，去命如前。
推灭日：以冬至大、小余，遍加朔日中为上位，有分为下位，在四千六百九十五以下者，为有灭之分也。置有灭之分，进位，以一千五百六十五除为灭日，以灭日加上位，命从甲子，算外，即得月内灭日。《乾元》置有灭之经朔小余，在一千一百八十以下者，以八因之，满三百六十八除为灭日。《仪天》经朔小余在朔虚法以下者，三因，进位，以朔虚分除为灭日。
求发敛
候策：五、小余七百二十八、秒二，母二十四。《乾元》候数五、小余一百一十四、秒十二，秒母七十二。《仪天》候率五、小余七百三十五、秒二十五，秒母三十六。
卦策：六、小余八百七十四、秒六。《乾元》卦位六、小余二百五十七，秒母六十。《仪天》卦率六、小余八百八十三、秒二十。
土王策：十二、小余一千七百四十八、秒一十二。《乾元》策三、小余一百二十八半，秒母一百一十。《仪天》土王率三、小余四百四十、秒五，秒母同上。 辰数：八百三十三半。《乾元》辰法二百四十五，辰率千五百二十。
刻法：一百。《乾元》一百四十七。《仪天》刻三百。
求七十二候：各因诸气大、小余秒命之，即初候日也；各以候策加之，得次候日；又加之，得末候日。二历同法。
求六十四卦：各置诸中气大、小余秒命之，即公卦用事日；以卦策加之，得次卦用事日；又加之，得终卦用事日。十有二节之初，皆诸侯外卦用事日。二历同法。
求五行用事：各因四立大、小余秒命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策加四季之节大、小余秒，命从甲子，算外。即其月土王用事日。《乾元》以土王策减四季中气大、小余。《仪天》以土王率加四季大、小余。 求二十四气加时辰刻：《乾元》谓之辰刻。《仪天》谓之求时。
各置小余，以辰数除之为时数，不满，百收为刻分，命起子正，算外，即所在。《乾元》时数同，其不尽，以五因之，以刻法除为刻分。《仪天》以三因小余，以辰率除之为时数，不尽者，满刻率除为刻，余为分。
天总：七十三万六百五十八、秒六十四。《乾元》轨率二十一万四千七十七、秒七千五百一十、小分七十。《仪天》乾元数三百六十八万九千八十八、秒九十九。 天度：三百六十五、小余二千五百六十三、微八十八。《乾元》周天三百六十五度、小余二千五百六十三。《仪天》乾则三百六十五度、小余二千五百八十八、秒九十九。《仪天》诸法皆在天总数中。《乾元》、《仪天》各立其法。《乾元》周天策一百七万三千八百五十三、秒七千五百五十三半，会周一万七千三百六十四，会余二十一万四千七百六十四，天中一百八十二、六千二百八十一半。《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限日八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒十五，限日九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒母一百。
《乾元》二十四气日躔阴阳度
《应天》、《乾元》二历，以常气求其阴阳差，故有二十四气立成。《仪天》以盈缩定分、四限直求二十四气阴阳差，乃更不制二十四气差法。
求日躔损益盈缩度：《乾元》谓之求每日阴阳差。《仪天》谓之求入盈缩分先后定数。 各置定日及分，以冬至常数相减，百收，通为分，自雨水后十六为法，自霜降后十五为法。除分为气中率，二相减，为合差；半之，加减率为初、末率。后多者，减为初、加为末；后少者，加为初、减为末。
又法，以除合差，为日差。后少者，日损初率；后多者，日益初率。 为每日日躔损益率；累积其数，为盈缩度分。《乾元》各置气数，以一百二十乘之，以一千八百二十六除之，所得为平行率；相减，为合差；初、末并如《应天》。《仪天》以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率；日分乘之，亦以限分除之，为日差；半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率；乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分；各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积准此求之，即各得其限每日进退率、升平积也。
求日躔先后定数：《乾元》谓之求入气、求弦望气入、求日躔阴阳差。
各以朔、弦、望入气日及减本气定日及分秒通之，下以损益率展，以元法为分，损减益加次气下先后积为定数。《乾元》以其月气节减经朔大、小余，即得入气日及分；又以弦策累加天正朔日入气大、小余，满气策去之，即得弦、望经朔入气日及分；以其日损益率乘入气日余分，所得，用损益其日阴阳差为定数。《仪天》法见上。又《仪天》有求四正节定日，去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定；其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日。若求朔、弦、望盈缩限日，以天正闰日及余减缩末限日及分，余为天正十一月经朔加时入限日及余；以弦策累加之，即得弦、望及后朔初、末限日；各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数。
赤道宿度
斗：二十六
牛：八
女：十二
虚：十及分 危：十七 室：十六
壁：九二历同 北方七宿九十八度。虚分二千五百六十三、秒一十九。《乾元》七千五百三十五、秒二十五。《仪天》二千五百八十八、秒九十九。
奎：十六
娄：十二
胃：十四
昴：十一
毕：十七
觜：一
参：十
西方七宿八十一度。二历同
井：三十三
鬼：三 柳：十五
星：七
张：十八
翼：十八
轸：十七
南方七宿一百一十一度。二历同 角：十二
亢：九
氐：十五
房：五
心：五
尾：十八 箕：十一
东方七宿七十五度。二历同
又《仪天》云：“前皆赤道度，自古以来，累依天仪测定，用为常准。赤道者，天中纮带，仪极攸凭，以格黄道也。”
求赤道变黄道度：《乾元》谓之求黄道度。《仪天》谓之推黄道度。
准二至赤道日躔宿次。前后五度为限，初限十二，每限减半，终九限减尽。距二立之宿，减一度少强，又从尽起限，每限增半，九限终于十二。距二分之宿，皆乘限度，身外除一，余满百为度分，命曰黄赤道差。二至前后各九限，以差为减；二分前后各九限，以差为加。各加减赤道度为黄道度，有余分就近收为太、半、少之数。《乾元》初率九，每限减一，末率一。《仪天》初数一百七，每限减一十，末率二十七，其余限数加减并同《应天》。
黄道宿度
斗：二十三度半 牛：七度半二历同
女：十一度太二历并十一度半
虚：十度少强二千五百六十三、秒十九。《乾元》无分。《仪天》六十三分、九十九秒。危：十七度少《乾元》同。《仪天》十七度太 室：十六度太。 壁：十度《乾元》九度太。《仪天》同。
北方七宿九十七度二千五百六十三、秒十九。《乾元》九十六度半、《仪天》九十七度半、六十三、秒九十九。
奎：十七度半二历同
娄：一十二度太《乾元》十三度。《仪天》同。
胃：十四度少。二历并十四度太
昴：十一度二历同
毕：十六度半《乾元》同。《仪天》十六度少。
觜：一度 参：九度少二历并同
西方七宿八十二度少。《乾元》八十三度。《仪天》八十二度半。 井：三十度 鬼：二度太二历并同
柳：十四度半《乾元》、《仪天》十四度少。
星：七度。《乾元》、《仪天》并六度太。
张：十八度少《乾元》同。《仪天》十八度太。
翼：十九度少《乾元》十九度。《仪天》同。
轸：十八度太二历同
南方七宿一百一十度半。《乾元》一百九度太。《仪天》同。
角：十三度 亢：九度半二历并同
氐：十二度少《乾元》、《仪天》并十五度半。
房：五度二历同
心：五度《乾元》同。《仪天》四度太。 尾：十七度少。《乾元》同。《仪天》十七度。 箕：十度《乾元》十度太。《仪天》十度。
东方七宿七十五度少。《乾元》七十六度。《仪天》七十四度太。
求赤道日度：《仪天》谓之推日度。 以天总除元积，为总数；不尽，半而进位，又以一百收总数从之，以元法收为度，不满为分秒，命起赤道虚宿四度分。《乾元》以轨率去岁积分，余以五因之，满轨率收为度，不满，退除为分，余同。《仪天》以乾数去岁积分，宗法收为度，命起虚宿二度，余同《应天》。又以一象度及余秒累加之，满赤道宿度即去之，各得四正，即初日加时赤道日度也。
求黄道日度：置冬至赤道日躔宿度，以所入限数乘之，所得，身外除一，满百为度，不满为分，用减赤道日度，为冬至加时黄道日度及分。《乾元》、《仪天》亦如其法。《乾元》即以八十四，《仪天》以一百一除为度，余同《应天》。 求朔望常日月：《乾元》谓之求黄道平朔日度。
置朔、望日躔先后定数，进一位，倍之，身外除之，以元法收为度分，先加后减朔望中日、月，为朔望中常日、月度分；用加冬至黄道之宿，命如前，即得朔望常日、月所在。《乾元》置会周一万七千三百六十，以距十一月后来月数乘之，所得，减去朔余，加会余而半之，以二百九十四收为度，不尽，退除为分。《仪天》法在后。《乾元》又有求黄道加时朔日度，置平朔日，以日躔阳加阴减之，又以冬至黄道日度加而命之，即其朔加时黄道日度及分也。若求望日度者，以半朔策加之，即得望日度及分也。用阳度，即依本术。 每日加时黄道日度：《乾元》谓之每日行分。
以定朔、望日所在相减，余以距后日数除之，为平行分；二行分相减，为合差；半之，加减平行分，为初行分；后平行多，减为初；后平行少，加为初。
以距后日数除合差，为日差；后少者损，后多者益，为每日行分；累加朔、望日，即得所求。《乾元》同。《仪天》不立此法。又《仪天》有求次正定日加时黄道日度，置岁差，以限数乘之，退一位，满一百一为差秒及小分，再析之，乃以加一象度，所得，累加冬至黄道日，满黄道宿次去之，各得四正，即加时黄道日度也。若求四正定日夜半黄道日度，置其定日小余副之，以其日盈、缩分乘之，满宗法而一，盈加缩减其副，乃以减其日加时，即为夜半黄道日度。又有求每日夜半日度，因四正初日夜半度，累加一策，以其日盈缩分盈加缩减，满黄道宿次去之，即得每日夜半日度。又有求定朔、弦、望加时日度，置定朔、望小余副之，以其日盈缩分乘之，以宗法收之为分，盈加缩减其副，以加其日夜半度，各得其时加日躔所次。如朔、望有进退者，此术不用。
